田忌賽馬的博弈對(duì)局存在一個(gè)（混合策略）均衡，就是雙方都會(huì)以相同的概率選擇每種賽馬出場(chǎng)順序。如果雙方都采納這個(gè)均衡策略，每六場(chǎng)比賽，齊王大概能贏五場(chǎng)，而田忌大概只能贏一場(chǎng)。

田忌賽馬是一個(gè)家喻戶曉的故事。齊國(guó)大將田忌和齊王賽馬，每方派出上等馬、中等馬和劣等馬各一匹，同等級(jí)的馬各賽一局，采用三局兩勝的規(guī)則判定雙方勝負(fù)。田忌的三匹馬各自都略遜于齊王同等級(jí)的馬，因此田忌在比賽中通常以零比三的結(jié)局告負(fù)。田忌的門客孫臏出了一條計(jì)策，用田忌的劣等馬對(duì)陣齊王的上等馬，田忌的上等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的中等馬對(duì)陣齊王的劣等馬，最終田忌以兩勝一負(fù)的結(jié)果贏了齊王。

不難看出，孫臏建議采用的賽馬順序其實(shí)是唯一能讓田忌取勝的策略，使用其他任何一種排序都無法戰(zhàn)勝齊王。可以這么說，史書上記載的田忌賽馬的故事，田忌之所以能贏齊王，是因?yàn)樗氏纫庾R(shí)到更多的排序?qū)﹃囘x擇并采用了對(duì)付齊王的最優(yōu)應(yīng)對(duì)策略。

最近幾年網(wǎng)上有不少文章質(zhì)疑田忌的這種以劣等馬替換上等馬的做法破壞了游戲規(guī)則，違反契約精神，甚至上升到中國(guó)人的“劣根性”而加以抨擊。問題是，一個(gè)合理的游戲規(guī)則應(yīng)該建立在可以明確驗(yàn)證的信息之上。例如，女子輕量級(jí)跆拳道比賽只允許體重59-63公斤的女性參加，這里的性別和體重是很容易驗(yàn)證的信息。但賽馬的品級(jí)不是可以輕易驗(yàn)證的信息，通常只有馬的主人才了解，以這一難以驗(yàn)證的信息作為比賽規(guī)則本身就未必很合理。就算在原定為劣等馬的比賽中出現(xiàn)了一匹明顯跑得更快的馬，對(duì)手也難以舉證說明這匹馬不是劣等馬。我們認(rèn)為，孫臏的智慧在于洞察到了比賽規(guī)則中可以靈活掌握之處，利用它制定出最優(yōu)的應(yīng)對(duì)策略，進(jìn)而在處于全面劣勢(shì)的情況下贏得了比賽。

田忌賽馬這個(gè)故事所展現(xiàn)出的智慧兩千多年來不斷啟示著后人，被廣為應(yīng)用。例如，在某些體育比賽中，一個(gè)有經(jīng)驗(yàn)的教練通過巧妙的排兵布陣，適當(dāng)?shù)剡x擇隊(duì)員的上場(chǎng)順序，有可能讓自己的隊(duì)伍戰(zhàn)勝一個(gè)總體實(shí)力更強(qiáng)的對(duì)手。1986年男子羽毛球湯姆斯杯中國(guó)對(duì)印尼的決賽就是一個(gè)例子。面對(duì)實(shí)力更強(qiáng)的印尼隊(duì)，中國(guó)隊(duì)教練侯加昌排出了出乎對(duì)手意料的出場(chǎng)順序。前兩場(chǎng)單打比賽中與對(duì)方1:1打平。第三場(chǎng)的單打，中國(guó)隊(duì)派出了防守型選手熊國(guó)寶對(duì)陣印尼名將林水鏡，意在消耗對(duì)手的體力，使其在最后一輪的雙打比賽中處于下風(fēng)。熊國(guó)寶不負(fù)眾望，不僅在體力上拖垮了對(duì)手，還爆冷贏得比賽。剩下的兩場(chǎng)雙打比賽印尼選手的總體實(shí)力其實(shí)都略占優(yōu)勢(shì)。這時(shí)，中國(guó)隊(duì)再施妙計(jì)，在第四場(chǎng)雙打中通過主動(dòng)讓球的方式快速輸?shù)袅吮荣?，使得林水鏡只有短暫的休息就不得不參加最后一場(chǎng)雙打比賽。中國(guó)隊(duì)最終以3:2的結(jié)果贏得了整場(chǎng)比賽的勝利，可以說是活學(xué)活用田忌賽馬智慧的一個(gè)經(jīng)典案例。就是遠(yuǎn)在英倫的英超保級(jí)弱隊(duì)似乎也深諳田忌賽馬的精髓。在圣誕魔鬼賽程，每個(gè)球隊(duì)每周要踢2-3場(chǎng)比賽。保級(jí)弱隊(duì)經(jīng)常采用的策略是對(duì)陣強(qiáng)隊(duì)時(shí)盡量派替補(bǔ)隊(duì)員出陣，讓主力球員得到充分休息，就是考慮到即使派主力球員上場(chǎng)贏面也很小。而在對(duì)陣其他球隊(duì)時(shí)，則派已得到充分休息的主力球員上場(chǎng)，讓球隊(duì)贏球的幾率大增。

我們回到田忌賽馬的歷史場(chǎng)景。齊王不鈍，意外地輸?shù)舯荣惡?，想必?huì)意識(shí)到原因所在，因而也會(huì)考慮所有的排陣可能。為簡(jiǎn)潔起見，上等馬、中等馬和劣等馬分別記為上、中、劣。這樣所有可能的賽馬出場(chǎng)順序就是：上中劣、上劣中、中上劣、中劣上、劣上中、劣中上（一共六個(gè)）。如果是這樣的話，下一場(chǎng)比賽，田忌還能再次出奇制勝嗎？更進(jìn)一步，如果田忌和齊王他們一直比下去（按史書的說法，他們的確是經(jīng)常賽馬），我們能否評(píng)估一下他們各自總體上的勝率呢？

首先，我們可以推定雙方都不太可能堅(jiān)持用一個(gè)固定的排序（博弈論上的術(shù)語就是“單純策略”）。原因很簡(jiǎn)單，就是一旦讓對(duì)方注意到了，對(duì)方總能想到最佳的應(yīng)對(duì)順序而取勝。比如說，如果齊王堅(jiān)持用“中上劣”，田忌可以用“上劣中”應(yīng)對(duì)而取勝；反之，如果田忌堅(jiān)持用“上劣中”，則齊王可以用除了“中上劣”之外的任何其它出場(chǎng)順序取勝。簡(jiǎn)單的驗(yàn)證可以揭示，田忌賽馬的博弈對(duì)局不存在任何一對(duì)互為最優(yōu)反應(yīng)的單純策略：給定任何一對(duì)排序，輸?shù)囊环娇偰苷业叫碌呐判蚍磾閯佟?/p>

存在一對(duì)互為最優(yōu)反應(yīng)的策略在博弈論分析中至關(guān)重要。只有當(dāng)已經(jīng)互為最優(yōu)反應(yīng)時(shí)，對(duì)局中的各方才不會(huì)有動(dòng)機(jī)單方面去改變或調(diào)整策略。正因?yàn)檫@個(gè)原因，互為最優(yōu)反應(yīng)的策略也為我們提供了對(duì)博弈結(jié)果比較可靠的預(yù)測(cè)依據(jù)。在博弈論分析中，一對(duì)互為最優(yōu)反應(yīng)的策略被稱為納什均衡（Nash Equilibrium，對(duì)，納什就是電影《美麗心靈》的主人公，1994年經(jīng)濟(jì)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)三位得主之一）。

回到田忌賽馬，上面的分析排除了單純策略（納什）均衡的存在。那有沒有其它的均衡呢？答案只能從混合策略中找。混合策略，簡(jiǎn)單地說，就是按一定的概率來選擇一些單純策略?？梢宰C明，田忌賽馬的博弈對(duì)局存在一個(gè)（混合策略）均衡，就是雙方都會(huì)以相同的概率選擇每個(gè)單純策略（每個(gè)單純策略或排序被選中的概率為1/6）。如果雙方都采納這個(gè)均衡策略，可以驗(yàn)證，每一場(chǎng)賽馬，齊王和田忌應(yīng)各有5/6和1/6的取勝概率；換一句話講，每六場(chǎng)比賽，齊王大概能贏五場(chǎng)，而田忌大概只能贏一場(chǎng)。

仔細(xì)想想，這個(gè)結(jié)論其實(shí)很直觀。大家小時(shí)候應(yīng)該都玩過石頭剪刀布的游戲。在這個(gè)游戲里，均衡就是以相同的概率（1/3）出石頭、剪刀和布。你我雙方都這么玩，各自的勝率就都是1/2。兩個(gè)教訓(xùn)：第一，堅(jiān)持用一種單純策略（石頭、剪刀或布）不會(huì)是好主意；第二，隨機(jī)選擇石頭、剪刀和布的概率一定得大致相同。偏離太多，比如說，你用高于1/2的頻率出石頭，我注意到后就可以通過大大提高出布的頻率來提高勝機(jī)。其實(shí)只要想通了石頭剪刀布的游戲怎么玩，也就差不多能想通田忌賽馬的奧秘了。主要的區(qū)別是，在石頭剪刀布的游戲你我是完全對(duì)稱的，在均衡中誰也占不了誰的便宜；而在田忌賽馬的對(duì)局，博弈雙方“實(shí)力”明顯不對(duì)稱，所以在均衡（當(dāng)齊王跟田忌具有同等的“理性（Rationality）”時(shí)），田忌的勝率應(yīng)遠(yuǎn)比齊王低。這也是為什么田忌贏了是意外，為人津津樂道二千年。

最后一個(gè)問題是關(guān)于均衡的唯一性。除了上面描述的均衡，田忌賽馬的博弈還有別的均衡嗎？有點(diǎn)煩瑣但可以驗(yàn)證，上面描述的混合策略均衡是田忌賽馬對(duì)局里唯一的均衡。因?yàn)榫獾奈ㄒ恍裕瑢?duì)博弈各方采用策略的預(yù)測(cè)也是確定的，那就是，博弈各方都會(huì)以同等概率隨機(jī)選擇每一種賽馬排序。

假設(shè)田忌賽馬存在多個(gè)均衡，我們又該如何預(yù)測(cè)賽馬的結(jié)果？這個(gè)問題其實(shí)是博弈論分析的一個(gè)軟肋。如果存在多個(gè)均衡，究竟哪一個(gè)均衡，能在所有的均衡中“脫穎而出”，成為博弈各方的選擇呢？由于不確定性，多個(gè)均衡的存在往往會(huì)使得博弈分析的預(yù)測(cè)能力大打折扣。

下面這個(gè)笑話說的就是多均衡的“麻煩”。有兩個(gè)好朋友經(jīng)常逃課，馬上要考試了才意識(shí)到什么都還沒準(zhǔn)備好，急中生智想出一招，臨考前給教授發(fā)出一封電子郵件，說是路上輪胎爆了，沒法趕到學(xué)?？荚嚒＝淌谝膊欢鄦?，改日補(bǔ)考，兩人被安頓到不同的教室。打開卷子，第一道題，5分，出奇的簡(jiǎn)單，很快就答完了。翻過第二頁，第二道題，95分，差點(diǎn)沒暈過去，問的是“爆了的是哪只輪胎？”

教授設(shè)置的這個(gè)考“局”其實(shí)有四個(gè)均衡，分別對(duì)應(yīng)著四個(gè)輪胎。只要兩個(gè)學(xué)生答的是同一個(gè)輪胎（協(xié)調(diào)到同一個(gè)“均衡”），95分應(yīng)該就到手了，教授應(yīng)該也不會(huì)去為難他們。問題是兩個(gè)難兄難弟被隔離在不同的教室，無法溝通，只能靠蒙。分別瞎蒙，都蒙對(duì)同一個(gè)輪胎的概率能有幾何？扯遠(yuǎn)了，還是田忌賽馬省事，只有一個(gè)均衡。

本文發(fā)表于微信訂閱號(hào)“經(jīng)濟(jì)學(xué)漫談”（微信號(hào)：TalkEcon)，原標(biāo)題為《從田忌賽馬談起》，澎湃新聞經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載。作者葉立新為斯坦福大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，現(xiàn)任俄亥俄州立大學(xué)經(jīng)濟(jì)系教授，作者毛亮為北京大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，現(xiàn)任深圳大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院講師。