“問(wèn)題是，我們到底是生活在哪個(gè)（數(shù)論）宇宙里？”

一個(gè)有零點(diǎn)，一個(gè)無(wú)零點(diǎn)。

在美籍華裔數(shù)學(xué)家、加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校教授張益唐公開(kāi)其關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想（the Landau-Siegel zeros conjecture）的最新研究論文前，這一零點(diǎn)將數(shù)論分成了上述兩個(gè)宇宙。

張益唐教授11月8日上午面向北京大學(xué)師生和社會(huì)公眾關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的演講

因?yàn)椴恢肋@一零點(diǎn)到底存在不存在，數(shù)論學(xué)家們只好去討論兩種情況：如果這一零點(diǎn)存在，會(huì)得出什么結(jié)論？如果它不存在，會(huì)得出什么結(jié)論？

在三天前面向山東大學(xué)師生的演講和11月8日上午面向北京大學(xué)師生和社會(huì)公眾的演講中，張益唐教授都多次提及其最新論文中證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的創(chuàng)新思想或“New idea”（新方法）。

他同時(shí)表示，其論文還需要修改補(bǔ)充，更關(guān)鍵的是，要簡(jiǎn)化。新研究成果會(huì)對(duì)代數(shù)數(shù)論中的二次域的類(lèi)數(shù)問(wèn)題給出一個(gè)非常強(qiáng)的結(jié)果。

張益唐教授還在演講中再次提及“大海撈針”。他說(shuō)，與自己2013年發(fā)表的關(guān)于孿生素?cái)?shù)猜想的研究突破相比，證明朗道-西格爾猜想才是真正的大海撈針。

11月8日上午，對(duì)于張益唐在演講中提到的證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的“New idea”（新方法），全程聆聽(tīng)該講座的北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院一位博士后向澎湃新聞（m.dbgt.com.cn）解釋稱(chēng)，最簡(jiǎn)略地來(lái)講，他是把計(jì)算中的z(n）序列，替換成了a(n)、b(n) 、c(n) 、d(n)序列，然后用柯西不等式推出矛盾，證明了在特定范圍內(nèi)不存在朗道-西格爾零點(diǎn)。

這位博士后進(jìn)一步解釋說(shuō)，具體來(lái)說(shuō)，張益唐教授在演講中舉了個(gè)例子，對(duì)于實(shí)連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，兩個(gè)連續(xù)的零點(diǎn)之間函數(shù)取值是同號(hào)的，這樣要證明零點(diǎn)在某個(gè)局部存在就等價(jià)于證明兩個(gè)局部端點(diǎn)的函數(shù)值乘積非正，如果構(gòu)造一個(gè)序列x(n)刻畫(huà)出零點(diǎn)正負(fù)性的特征，那么證明x(n)中某一項(xiàng)為負(fù)就說(shuō)明零點(diǎn)存在。同樣的考慮實(shí)本原特征的狄利克雷L函數(shù)（當(dāng)特征是平凡時(shí)，即黎曼ζ函數(shù)），它的零點(diǎn)存在，也需要證明對(duì)于某個(gè)序列x(n)，其中一項(xiàng)為負(fù)。傳統(tǒng)的方法是，取一組實(shí)的z(n)，考慮x(n)(z(n))^2的求和，如果為負(fù)，那么x(n)必存在一項(xiàng)為負(fù)。但傳統(tǒng)的方法無(wú)法從一個(gè)無(wú)窮小量ε（epsilon）突破到0。張益唐教授的方法是，用a(n)、b(n)、c(n)、d(n)做兩組求和，同時(shí)逼近；再使用柯西不等式，推出其中大小關(guān)系。這個(gè)工作的價(jià)值在于，將L(1,χ)的下界從無(wú)實(shí)效（not effective）的D的負(fù)ε次方，改進(jìn)成實(shí)效（effective）的log D的負(fù)常數(shù)次方。

在演講后的提問(wèn)環(huán)節(jié)，有人問(wèn)說(shuō)，您所介紹的這種new idea，是看著“初等”，實(shí)際上是從非常深的工作中才提煉出來(lái)的，還是說(shuō)是在大海撈針之后，直接用了一個(gè)初等的 idea去指導(dǎo)工作？

張益唐在回答這個(gè)問(wèn)題時(shí)表示，“我的論文當(dāng)然還要做很多修改和補(bǔ)充。可能更關(guān)鍵的是，要簡(jiǎn)化。否則的話，確實(shí)（令人）比較頭疼?！?/p>

11月6日，菲爾茲獎(jiǎng)得主詹姆斯·梅納德（JamesMaynard）攻讀博士學(xué)位時(shí)的導(dǎo)師、致力于解析數(shù)論領(lǐng)域的英國(guó)數(shù)學(xué)家、牛津大學(xué)數(shù)學(xué)研究所退休教授羅杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown FRS）向澎湃新聞表示，“好好研讀（張益唐的）這篇論文需要很長(zhǎng)時(shí)間，所以我現(xiàn)在還不能說(shuō)它是否正確。但它寫(xiě)得很清楚，而且策略明智?！?/p>

張益唐在演講中說(shuō)，“有的時(shí)候你說(shuō)你用到了一些高深的東西，實(shí)際上從范圍來(lái)講，也沒(méi)有超出復(fù)變函數(shù)的范圍，但它有它的特殊處理方法。有些東西被弄得非常細(xì)膩，非常精致，所以它是一整套（方法）。就像我這個(gè)論文里，其實(shí)也有很多（這樣的特殊處理方法）。最后有些東西我可能以后還得把細(xì)節(jié)補(bǔ)出來(lái)。有一些算術(shù)、有一些特殊的一些‘和’，我能夠知道它的結(jié)果（的），基本上我也就給出聲明了。但很多細(xì)節(jié)，現(xiàn)在說(shuō)起來(lái)，寫(xiě)這些東西，對(duì)我來(lái)講，還是很頭疼了。”

張益唐表示，“這里嚴(yán)格講起來(lái)，每一步都應(yīng)該說(shuō)都是初等的，但真正z(n)的選擇，而且最后你要能夠算出那個(gè)和，那就需要用到很多解析的工具?！?/p>

他還以菲爾茲獎(jiǎng)得主塞爾伯格的研究為例稱(chēng)，“有時(shí)候初等比解析的東西更難，更有挑戰(zhàn)性。”

還有人問(wèn)起，關(guān)于朗道-西格爾猜想的研究突破在數(shù)論或算數(shù)幾何中會(huì)有哪些應(yīng)用？

張益唐回答，在數(shù)論里，它至少解決了一個(gè)目前為止還懸而未決的問(wèn)題——“素?cái)?shù)在等差級(jí)數(shù)中的分布”。“（如果）可能存在朗道-西格爾零點(diǎn)的話，那么在某些等差級(jí)數(shù)里，素?cái)?shù)會(huì)特別多；在某些里頭，素?cái)?shù)會(huì)很少。我這個(gè)結(jié)果出來(lái)以后，至少把這個(gè)問(wèn)題解決了。”

張益唐說(shuō)，“在應(yīng)用里頭，因?yàn)槭菭砍兜浇馕鰯?shù)論，什么地方都得用到這個(gè)（結(jié)果）?！薄斑€有一個(gè)，是代數(shù)數(shù)論里二次域的類(lèi)數(shù)問(wèn)題，這會(huì)給出一個(gè)非常強(qiáng)的一個(gè)結(jié)果。”

張益唐在網(wǎng)站arXiv上公開(kāi)的三篇預(yù)印本論文

張益唐于2013年4月17日在《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）發(fā)表《素?cái)?shù)間的有界間隔》，首次證明了存在無(wú)窮多對(duì)素?cái)?shù)對(duì)（p, q），其中每一對(duì)素?cái)?shù)之差，即p和q的距離，不超過(guò)7000萬(wàn)。這為世紀(jì)難題“孿生素?cái)?shù)猜想”的解決做出了突破性工作，他從一位默默無(wú)聞的大學(xué)講師躋身世界重量級(jí)數(shù)學(xué)家的行列。隨后，“7000萬(wàn)”這一數(shù)字，被數(shù)學(xué)界同行改進(jìn)到600和246。

2007年5月29日，張益唐就曾在預(yù)印本網(wǎng)站arXiv提交了一篇標(biāo)題為《論郎道-西格爾零點(diǎn)猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）的論文。該論文一共54頁(yè)，正文13小節(jié)。該論文稱(chēng)，“我們提供了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的一個(gè)變體的證明。” 

15年后，張益唐再次發(fā)布關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文。在內(nèi)部流出兩天后，2022年11月7日，其最新論文在預(yù)印本網(wǎng)站arXiv上正式對(duì)外公開(kāi)。論文的標(biāo)題是《離散均值估計(jì)和朗道-西格爾零點(diǎn)》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel Zero）。全文111頁(yè)，正文18個(gè)小節(jié)。

11月6日上午11:05，山東大學(xué)微信公眾號(hào)發(fā)布了山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師、原數(shù)學(xué)學(xué)院副院長(zhǎng)、山東大學(xué)澳國(guó)立聯(lián)合理學(xué)院執(zhí)行院長(zhǎng)呂廣世、山東大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)研究院教授、博士生導(dǎo)師黃炳榮等人聯(lián)合撰寫(xiě)的文章。

該文章稱(chēng)，張益唐教授介紹了他在朗道-西格爾零點(diǎn)猜想研究方面的創(chuàng)新思想，在其最新預(yù)印本論文里證明了：模D的實(shí)原特征L-函數(shù)在區(qū)間（1?c(log D)^?2024,1】?jī)?nèi)沒(méi)有實(shí)零點(diǎn)。

“如果把這里的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點(diǎn)猜想。2024雖然大于1，但在數(shù)學(xué)意義上，與1并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的差別?！鄙綎|大學(xué)微信公眾號(hào)上述文章稱(chēng)。

20多天前，在美東時(shí)間10月14日下午8時(shí)（北京時(shí)間10月15日上午8時(shí)）舉行的北京大學(xué)大紐約地區(qū)校友會(huì)的活動(dòng)中，張益唐提前宣布了已解決朗道-西格爾零點(diǎn)猜想問(wèn)題的消息。他說(shuō)，要解決這一問(wèn)題，最后歸結(jié)到要做一個(gè)不等式；就是要構(gòu)造一組數(shù)?！坝腥苏f(shuō)孿生素?cái)?shù)猜想是大海撈針，其實(shí)朗道-西格爾零點(diǎn)才是大海撈針。這些年來(lái)我試了無(wú)數(shù)種（情況），試數(shù)給代進(jìn)去， 我建立了一整套公式，所以能去算。我試了無(wú)數(shù)種情況，每一次都差一個(gè) ε（音：伊普西龍）?！?/p>

他說(shuō)，他把“海底”查遍了，最后發(fā)現(xiàn)，不要這根針也能解決這一零點(diǎn)猜想問(wèn)題?！拔腋铱隙ǖ卣f(shuō)，我做出來(lái)了。我知道我這么做是對(duì)的?！?/p>

在11月8日上午的演講中，張益唐表示，在本質(zhì)上，他已經(jīng)證明了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想。只是像他此前關(guān)于孿生素?cái)?shù)猜想的研究結(jié)果一樣，其結(jié)果可以被改進(jìn)。這一最新研究突破將有很多應(yīng)用，帶來(lái)很多定理。

換句話說(shuō)，張益唐的最新論文表明，在特定范圍內(nèi)，朗道-西格爾零點(diǎn)不存在。在這一情況下，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想正確或成立。

“朗道-西格爾零點(diǎn)”被定義為廣義黎曼猜想的反例。斷言“朗道-西格爾零點(diǎn)”不存在的猜測(cè)，被稱(chēng)為朗道-西格爾零點(diǎn)猜想。

張益唐在演講中同時(shí)表示，目前他把朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的證明相關(guān)指數(shù)做到了2024，“比較慶幸?！边@一結(jié)果可以被改進(jìn)，但指數(shù)2024可以被改進(jìn)到什么程度？“我想至少可以弄到幾百吧。但弄到1？我的辦法還是不夠?！?/p>

張益唐教授的這一最新成果引起了數(shù)學(xué)界和社會(huì)公眾的極大關(guān)注。這會(huì)不會(huì)成為其數(shù)學(xué)研究中的又一重要突破？有待數(shù)學(xué)界專(zhuān)家們的確認(rèn)。