原創(chuàng) Lydia Pyne 科學(xué)藝術(shù)研究中心

舞臺劇版本中的羅森克蘭茨與吉爾登斯特恩在玩拋硬幣

英國劇作家湯姆·斯托帕德（Tom Stoppard）非常擅長莎士比亞題材的演繹，其作品中有中國觀眾都耳熟能詳?shù)摹渡糖槭贰罚奈枧_話劇代表作《君臣人子小命嗚呼》（Rosencrantz and Guildenstern Are Dead），把莎翁筆下經(jīng)典人物哈姆雷特的兩位朋友羅森克蘭茨與吉爾登斯特恩作為主角，演了一出著名的荒誕劇。

在這部劇中，有個場景令人印象非常深刻，兩位主演無聊至極，用拋硬幣來打發(fā)時間，結(jié)果……吉爾登斯特恩連拋了92枚，都是有頭的一面，這使得他的一句臺詞“一個弱小的人可能會重新審視自己的信仰，別的不說，至少在概率定律上”變得十分耐人尋味。

但是且慢，我們要問的是，連拋92次都為同一面的概率到底有多大，如果硬幣本身沒有問題的話？

1990年電影版的《君臣人子小命嗚呼》中，這段拋硬幣的情節(jié)也十分重要。

粗略算一下就知道，這個情況實際發(fā)生的可能性是10的27次方分之一，根據(jù)美國國家海洋和大氣管理局網(wǎng)站上的描述，它比一個人在一年中被閃電擊中四次的可能性還要小。

當(dāng)然，更有趣的是去想一下，這一荒謬場景發(fā)生的前提是什么，誰都知道擲硬幣時出現(xiàn)正反兩面的幾率應(yīng)該是50/50，那么冥冥之中一定發(fā)生了什么，才會造成這樣奇特的偏差。

拋硬幣在文化中起到的是一種迅速決斷的作用。一枚快速轉(zhuǎn)動的硬幣被認(rèn)為能夠在兩種可能結(jié)果之間作出無偏見的選擇，參與雙方都有同等的獲勝機(jī)會。

只要硬幣是一枚公平的硬幣，那結(jié)果就會是公平的。而根據(jù)17世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）算出的概率，一枚公平的硬幣，指的是圓盤兩面都有均等機(jī)會出現(xiàn)的硬幣。這意味著不能偏袒任何一方，不管是無意中（比如說，因為制造而導(dǎo)致的兩面重量明顯不平衡），還是有意的（兩面都是人頭的硬幣）。當(dāng)一枚不公平的硬幣被扔出去時，它傳達(dá)了一種對世界的不公平操縱，將勝算轉(zhuǎn)移到有利于某人的一邊。

換而言之，吉爾登斯特恩和其他擲硬幣的人有一個深刻的信念，那就是擲硬幣的幾率在正面和反面各占一半。斯托帕德寫的這一幕之所以如此引人注目，部分原因在于它迎合了觀眾的懷疑：一個人是不可能連續(xù)贏下92次頭面向上的投注的。

有著羅馬皇帝卡拉卡拉頭像的賽斯特斯幣（來自wiki）

用擲硬幣的方式來決定結(jié)果并不是什么新鮮事。

自羅馬帝國以來，貫穿整個歐洲中世紀(jì)，拋硬幣提供了一種在兩種選擇之間作出決定的方法，被稱為“頭還是船”，來源自羅馬賽斯特斯幣上的圖像，相當(dāng)于“正面還是反面”。拋硬幣是一種兒童會玩的機(jī)會游戲，也是貴族精英會玩的賭博游戲。傳說凱撒大帝還會用擲硬幣來解決法律糾紛。

到了中世紀(jì)，拋硬幣出現(xiàn)了一種叫做“十字架和樁”的變體，是孩子們（甚至是年輕學(xué)徒）最喜歡的游戲。13世紀(jì)末，愛德華二世國王的財政部甚至記錄了國王與仆人玩?！笆旨芎蜆丁睍r候的皇家損失。

對拋硬幣有過研究的兩位前輩科學(xué)家：伯努利（左），布豐（右）

到了近代，硬幣逐漸與概率、統(tǒng)計學(xué)和數(shù)學(xué)模型聯(lián)系在了一起。例如，在18世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家和博物學(xué)家喬治·路易斯·勒克萊爾（Georges-Louis Leclerc），也就是我們熟悉的布馮伯爵，將一枚硬幣擲了4040次，結(jié)果出現(xiàn)2048次頭向上，也就是說非常接近一半的概率（0.5069）。

20世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）將一枚硬幣投擲了24000次，其中12012次拋向頭部，甚至更接近我們所認(rèn)為的公平硬幣的50/50的概率（0.5005）。在這樣一些演示之后，硬幣本質(zhì)上成了可用的最小的隨機(jī)數(shù)生成器。

在現(xiàn)代體育賽事中，擲硬幣給獲勝的球隊帶來了一些優(yōu)勢，比如說，先開球，或者選擇沒有太陽的一邊。2016年2月，愛荷華州民主黨的黨內(nèi)預(yù)選結(jié)果非常接近，有十幾名代表基于拋硬幣來投票給伯尼·桑德斯（Bernie Sanders）或希拉里·克林頓（Hillary Clinton）。這也不是什么新鮮事。正如羅素·伯曼（Russell Berman）給《大西洋月刊》所寫的報道那樣，“擲硬幣是民主黨黨內(nèi)預(yù)選的一個長期特點，而機(jī)會游戲?qū)嶋H上在出現(xiàn)局面的美國大選中有著悠久的歷史。”

拋硬幣是公認(rèn)的最簡單的概率模型

在統(tǒng)計模型中，硬幣是唯一一種沒有博弈中的復(fù)雜性或其他條件存在的對象。與轉(zhuǎn)輪盤或擲骰子不同，硬幣能以最簡單的方式來確定概率：平均分配。此外，它是一個如此熟悉的對象，以至于人們不需要去學(xué)習(xí)游戲規(guī)則，就能完全明白其中是什么意思。硬幣是我們與隨機(jī)性之間最簡單的物質(zhì)聯(lián)系。

但實際上，這也是施加在拋硬幣上的道德暗示，使其具有文化上的聲望。文化把擲硬幣作為在兩種可能結(jié)果之間進(jìn)行選擇的公正方式。這意味著公平——投幣者沒辦法自行導(dǎo)向其中一個結(jié)果，除非作弊。似乎沒有任何機(jī)構(gòu)干預(yù)這一決定，因此，致力于這一決定的人類行為者可以輕松地置身于結(jié)果之外。

在流行文化中，擲硬幣已經(jīng)成為一種擺脫道德責(zé)任的方式。例如，在1939年的電影《史密斯先生去華盛頓》中，霍珀州長被要求在希爾先生和米勒先生這兩位候選人中做出選擇。他挑不出來，于是扔了一個硬幣，結(jié)果硬幣側(cè)身停了下來。于是他把這解釋為命運(yùn)告訴他不要選任何一個候選人，于是選擇了另一位史密斯先生。

雙面人標(biāo)志性的雙頭硬幣

在DC的漫畫世界中，蝙蝠俠的死敵哈維·登特暗地里是一個超級反派兩面派，其綽號就是雙面人，他用雙頭硬幣（有一面被腐蝕了）來判斷他要采取的某些行動是否“公平”，顛覆了觀眾對擲硬幣公平性的觀念。

同樣，英國廣播公司BBC的劇集《火槍手》也為觀眾提供了一個情節(jié)，在這一集中，大反派根據(jù)擲硬幣來決定人質(zhì)的生死?？贫餍值艿碾娪啊独蠠o所依》中，當(dāng)安東·奇古爾用擲硬幣來代表自由意志：他強(qiáng)迫一個西德克薩斯加油站的服務(wù)員為自己的生命擲一枚硬幣，根據(jù)硬幣的正反面來決定其生死。

《老無所依》中的拋硬幣場景

回到《君臣人子小命嗚呼》中來，隨著羅森克蘭茨和吉爾登斯特恩的第一幕接近尾聲，演員們開始思考連續(xù)92個頭朝上的含義。

討論結(jié)果“不足為奇”，正是吉爾登斯特恩所說的“一種規(guī)律，或者更確切地說是一種趨勢，或者讓我們說一種概率，或者至少是一種數(shù)學(xué)上可計算的機(jī)會，它確保一個人不會因輸?shù)锰喽棺约翰话?，也不會因贏得太頻繁而使對手不安?！奔獱柕撬固囟髦鲝埵澜绲牡赖伦罱K和數(shù)學(xué)一樣多。沒有人會贏或輸“太多”。

這就是為什么連續(xù)92次拋頭朝上讓吉爾登斯特恩停住了腳步。這使他質(zhì)疑自己對世界的理解。如果擲硬幣可能是有偏差的，或者至少代表了不公平的概率，那對與之相關(guān)的習(xí)慣傳統(tǒng)意味著什么？自然不再是可預(yù)測的和公平的了嗎？

延展開來，如果羅森克蘭茨和吉爾登斯特恩以安東·奇古爾、哈維·登特或霍珀州長的路子將硬幣拋給外包決策，那將激怒我們的敏感直覺。面對一個對布豐和皮爾遜都構(gòu)成了嚴(yán)重挑戰(zhàn)的結(jié)果，我們通過一次拋擲來“決定命運(yùn)”態(tài)度就成了問題。

正因如此，拋硬幣提供的是一個文化對象，它基本上充滿了公平和命運(yùn)的概念。盡管拋硬幣本身由純粹的偶然性所決定，但我們構(gòu)建了以“正面”或“反面”進(jìn)行決斷的情形。說到底，拋硬幣并不關(guān)于命運(yùn)，而更多是關(guān)于我們圍繞命運(yùn)構(gòu)建的情境。

原文鏈接

https://daily.jstor.org/statistics-of-coin-tosses-theater-geeks

譯文略有改動

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原標(biāo)題：《劇場中的拋硬幣統(tǒng)計學(xué)》

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